第 17 天：極限、導數與不可導性

(a) f(3 + h) = (3 + h)^2 = 9 + 6h + h^2。
f(3 + h) - f(3) = 9 + 6h + h^2 - 9 = 6h + h^2。
[f(3 + h) - f(3)]/h = (6h + h^2)/h = 6 + h，當 h != 0 時（約分就是除以 h）。
lim(h->0) (6 + h) = 6，所以 f'(3) = 6。無論 h 為正還是為負，6 + h 都趨近 6，所以兩個單側極限都是 6。
數值檢驗：h = 0.01 得 (9.0601 - 9)/0.01 = 6.01；h = -0.01 得 (8.9401 - 9)/(-0.01) = 5.99。兩者與 6 都相差 0.01，正如 6 + h 所預測。

(b) [(a + h)^2 - a^2]/h = (2ah + h^2)/h = 2a + h（h != 0），所以 f'(a) = 2a。a = 3 時再次得到 6；a = 2 時得到 4（精熟題）。這就是 n = 2 時的冪法則，是推導出來的，而不是假定的。

(c) g(2 + h) - g(2) = 1/(2 + h) - 1/2 = (2 - (2 + h))/(2(2 + h)) = -h/(2(2 + h))。
除以 h（h != 0，且 h != -2，使 2 + h 不為零）：-1/(2(2 + h))。
h 趨近 0 時它趨近 -1/(2 * 2) = -1/4，所以 g'(2) = -0.25。
數值檢驗：h = 0.01 時 (1/2.01 - 0.5)/0.01 = (0.497512 - 0.5)/0.01 ≈ -0.2488，接近 -0.25。

常見錯誤：寫成 (3 + h)^2 = 9 + h^2（漏了 6h）；約分前就令 h = 0，得到 0/0；把答案留成 6 + h。

(a) 逐項求導：
d/dx x^3 = 3x^2（冪法則，n = 3）
d/dx (-2x) = -2（n = 1 的冪法則乘以常數：-2 * 1 * x^0）
d/dx 1 = 0（常數法則）
和法則：q'(x) = 3x^2 - 2 + 0 = 3x^2 - 2。
在 x = 2：q'(2) = 3(2)^2 - 2 = 3 * 4 - 2 = 12 - 2 = 10。
用 h = 0.001 的中心差分檢驗：q(2.001) = 8.012006001 - 4.002 + 1 = 5.010006001，q(1.999) = 7.988005999 - 3.998 + 1 = 4.990005999。(5.010006001 - 4.990005999)/0.002 = 0.020000002/0.002 = 10.000001。多出的 0.000001 對這個三次多項式恰好是 h^2，即中心差分的截斷項，並不是 q'(2) 算錯了。

(b) 3x^2 - 2 = 0 得 x^2 = 2/3，所以 x = sqrt(2/3) ≈ 0.8165 或 x = -sqrt(2/3) ≈ -0.8165。在這兩點切線是水平的。

(c) u'(x) = 10x^4 - 6x + 7，所以 u'(1) = 10 - 6 + 7 = 11。

定義域說明：多項式對所有實數 x 都有定義且可微，不需要排除任何點。這些法則是極限定義的捷徑，每一條都可由定義證明。

常見錯誤：對指數求導（寫成 3x^3 或 x^2）；把常數 1 保留為 1；在求導之前就代入 x = 2。

(a) 連續性：lim(x->0) |x| = 0 = v(0)，所以 v 在 0 處連續。
商式：[v(0 + h) - v(0)]/h = |h|/h。
h 為正時，|h| = h，商為 h/h = 1；h = 0.1 時為 0.1/0.1 = 1。
h 為負時，|h| = -h，商為 -h/h = -1；h = -0.1 時為 0.1/(-0.1) = -1。
右極限為 1，左極限為 -1。兩者不同，所以雙側極限不存在，v'(0) 也不存在，儘管 v 在 0 處連續。這是對「連續就一定可微」的反例。幾何上，斜率為 1 和 -1 的兩條直線在原點形成尖角。

(b) w(0) = 0，所以當 h != 0 時商為 w(h)/h = h|h|/h = |h|。h 從任一側趨近 0 時，|h| 都趨近 0。兩個單側極限都是 0，所以 w'(0) = 0。乘以 x 消除了尖角：圖形左側是 -x^2，右側是 x^2，兩段以相同的斜率 0 相接。

(c) c(h)/h = h^(1/3)/h = h^(-2/3)。h = 0.001 時：0.1/0.001 = 100。h = -0.001 時：(-0.1)/(-0.001) = 100。h 趨近 0 時商無限增大（h^(-2/3) 趨於 +無窮），所以 c 在 0 處有鉛直切線，沒有有限的導數，儘管它在那裡連續。

小結：尖角（|x|，單側極限不等）、平滑銜接（x|x|，極限相等）、鉛直切線（立方根，極限為無窮）。有跳躍的函數在跳躍點絕不可微，因為可微蘊含連續。

法則：s'(x) = 2x - 4（對 x^2 用冪法則，對 -4x 用常數倍法則）。所以 s'(3) = 2(3) - 4 = 2。
極限定義檢驗：s(3 + h) = (3 + h)^2 - 4(3 + h) = 9 + 6h + h^2 - 12 - 4h = -3 + 2h + h^2。由 s(3) = -3，[s(3 + h) - s(3)]/h = (2h + h^2)/h = 2 + h（h != 0），趨近 2。兩種方法一致。

切線：s(3) = 9 - 12 = -3，所以切點為 (3, -3)，斜率為 2：y + 3 = 2(x - 3)，即 y = 2x - 9。在 x = 3 處檢驗：2(3) - 9 = -3。

局部線性近似：在 x = 3.1 處切線給出 2(3.1) - 9 = -2.8；真實值 s(3.1) = 9.61 - 12.4 = -2.79。誤差 0.01 就是 h = 0.1 時的 h^2，正是直線忽略的那一項。

與 |x| 在 0 處對比：與平滑的多項式不同，|x| 在 0 處左右斜率不等，因此在那裡沒有導數：明確地說，lim(h->0+) (|h| - |0|)/h = +1，而 lim(h->0-) (|h| - |0|)/h = -1。多項式在每一點都有切線；|x| 在 0 處沒有，所以沒有一條直線能從兩側同時近似它的尖角。

檢查用的變式：s'(1) = -2，s(1) = -3，所以 x = 1 處的切線為 y = -2x - 1。

常見錯誤：只寫斜率 2 作為全部答案；把 s(3) 算成 3；把 +1 和 -1 取平均，說 |x| 在 0 處的導數為 0。