Day 17: 極限・導関数・微分不可能性

(a) f(3 + h) = (3 + h)^2 = 9 + 6h + h^2。
f(3 + h) - f(3) = 9 + 6h + h^2 - 9 = 6h + h^2。
[f(3 + h) - f(3)]/h = (6h + h^2)/h = 6 + h（h != 0 のとき。約分は h で割る操作である）。
lim(h->0) (6 + h) = 6、よって f'(3) = 6。h が正でも負でも 6 + h は 6 に近づくので、両方の片側極限が 6 である。
数値確認：h = 0.01 では (9.0601 - 9)/0.01 = 6.01、h = -0.01 では (8.9401 - 9)/(-0.01) = 5.99。どちらも 6 から 0.01 ずれており、6 + h の予測どおりである。

(b) [(a + h)^2 - a^2]/h = (2ah + h^2)/h = 2a + h（h != 0）、よって f'(a) = 2a。a = 3 で再び 6、a = 2 で 4（習熟項目）。これは n = 2 のべき乗の法則を、仮定せずに導いたものである。

(c) g(2 + h) - g(2) = 1/(2 + h) - 1/2 = (2 - (2 + h))/(2(2 + h)) = -h/(2(2 + h))。
h で割る（h != 0、かつ 2 + h が 0 にならないよう h != -2）：-1/(2(2 + h))。
h を 0 に近づけると -1/(2 * 2) = -1/4 に近づくので g'(2) = -0.25。
数値確認：h = 0.01 で (1/2.01 - 0.5)/0.01 = (0.497512 - 0.5)/0.01 ≈ -0.2488、-0.25 に近い。

よくある誤り：(3 + h)^2 = 9 + h^2 と書く（6h が抜ける）。約分の前に h = 0 とおき 0/0 になる。答えを 6 + h のまま残す。

(a) 一項ずつ：
d/dx x^3 = 3x^2（べき乗の法則、n = 3）
d/dx (-2x) = -2（n = 1 のべき乗の法則の定数倍：-2 * 1 * x^0）
d/dx 1 = 0（定数の法則）
和の法則：q'(x) = 3x^2 - 2 + 0 = 3x^2 - 2。
x = 2 で：q'(2) = 3(2)^2 - 2 = 3 * 4 - 2 = 12 - 2 = 10。
h = 0.001 の中心差分による確認：q(2.001) = 8.012006001 - 4.002 + 1 = 5.010006001、q(1.999) = 7.988005999 - 3.998 + 1 = 4.990005999。(5.010006001 - 4.990005999)/0.002 = 0.020000002/0.002 = 10.000001。余分な 0.000001 はこの三次式ではちょうど h^2 であり、中心差分の打ち切り項である。q'(2) の誤りではない。

(b) 3x^2 - 2 = 0 から x^2 = 2/3、よって x = sqrt(2/3) ≈ 0.8165 または x = -sqrt(2/3) ≈ -0.8165。この二点で接線は水平になる。

(c) u'(x) = 10x^4 - 6x + 7、よって u'(1) = 10 - 6 + 7 = 11。

定義域についての注意：多項式はすべての実数 x で定義され微分可能なので、除外すべき点はない。法則は極限による定義の近道であり、どれも定義から証明される。

よくある誤り：指数を微分する（3x^3 や x^2 と書く）。定数 1 を 1 のまま残す。微分する前に x = 2 を代入する。

(a) 連続性：lim(x->0) |x| = 0 = v(0) なので、v は 0 で連続である。
商：[v(0 + h) - v(0)]/h = |h|/h。
正の h では |h| = h なので商は h/h = 1。h = 0.1 では 0.1/0.1 = 1。
負の h では |h| = -h なので商は -h/h = -1。h = -0.1 では 0.1/(-0.1) = -1。
右側極限は 1、左側極限は -1 で異なるので、両側極限は存在せず、v は 0 で連続であるにもかかわらず v'(0) は存在しない。これは「連続ならば常に微分可能」に対する反例である。幾何的には、傾き 1 と -1 の直線が原点で角をつくる。

(b) w(0) = 0 なので、商は h != 0 で w(h)/h = h|h|/h = |h|。h がどちら側から 0 に近づいても |h| は 0 に近づく。両方の片側極限が 0 なので w'(0) = 0。x を掛けたことで角が消えた：グラフは左側で -x^2、右側で x^2 であり、同じ傾き 0 でつながる。

(c) c(h)/h = h^(1/3)/h = h^(-2/3)。h = 0.001 では 0.1/0.001 = 100。h = -0.001 では (-0.1)/(-0.001) = 100。h を 0 に近づけると商は限りなく大きくなる（h^(-2/3) は +無限大に向かう）。したがって c は 0 で垂直な接線を持ち、有限の微分係数はない。ただし 0 で連続ではある。

まとめ：角（|x|、片側極限が異なる）、滑らかな接続（x|x|、極限が等しい）、垂直接線（立方根、極限が無限大）。跳びのある関数は、その点では決して微分可能でない。微分可能性は連続性を含意するからである。

法則：s'(x) = 2x - 4（x^2 にべき乗の法則、-4x に定数倍の法則）。よって s'(3) = 2(3) - 4 = 2。
極限による定義での確認：s(3 + h) = (3 + h)^2 - 4(3 + h) = 9 + 6h + h^2 - 12 - 4h = -3 + 2h + h^2。s(3) = -3 なので [s(3 + h) - s(3)]/h = (2h + h^2)/h = 2 + h（h != 0）、これは 2 に近づく。二つの方法は一致する。

接線：s(3) = 9 - 12 = -3 なので点は (3, -3)、傾きは 2：y + 3 = 2(x - 3)、すなわち y = 2x - 9。x = 3 での確認：2(3) - 9 = -3。

局所的な一次近似：x = 3.1 で接線は 2(3.1) - 9 = -2.8 を与え、本当の値は s(3.1) = 9.61 - 12.4 = -2.79。誤差 0.01 は h = 0.1 に対する h^2 で、直線が無視する項である。

0 での |x| との対比：滑らかな多項式と違い、|x| は 0 で左右の傾きが異なり、そこに導関数を持たない。明示すると、lim(h->0+) (|h| - |0|)/h = +1、一方 lim(h->0-) (|h| - |0|)/h = -1。多項式はすべての点で接線を持つが、|x| は 0 で接線を持たず、一本の直線で角を両側から近似することはできない。

確認用の変形：s'(1) = -2、s(1) = -3 なので、x = 1 での接線は y = -2x - 1。

よくある誤り：傾き 2 だけを答えにする。s(3) = 3 とする。+1 と -1 を平均して、|x| の 0 での導関数を 0 とする。