作為映射的函數
Agent 輔助工程檢查
前提條件
完成前一項活動；如遇困難，使用列出的恢復來源。
學習目標
把函數理解為一種規則：它把定義域中每個允許的輸入恰好映射到一個輸出。在使用公式前先建立表格，並說明定義域、值域、單位與假設。
操作說明
1. 先讀定義：從定義域 D 出發的函數 f，給 D 中每個輸入 x 恰好指定一個輸出 f(x)。動用公式之前，先寫出 D、輸出集合和單位（這裡只是普通的數）。
2. 計算前先預測：哪個輸入給出最小輸出？哪些輸入對會得到相同的輸出？
3. 逐欄建表：先 x，再 x^2，最後 x^2+1。最常見的失誤出在「先平方再加 1」這一步；(-2)^2 是 4，不是 -4。
4. 值域要從代數推出，而不只看表：對每個實數 x 都有 x^2 ≥ 0，所以 x^2+1 ≥ 1；而且每個 y ≥ 1 都能由 x = sqrt(y-1) 取到。
5. 用練習題檢驗定義：只要某個輸入對應了兩個不同的輸出，這個關係就不再是函數。
6. 把預測與表格對比，如有不符，用一句話記錄。
時間安排（120 分鐘）：閱讀 30 + 練習 60 + 檢查 30。 閱讀：OpenStax《微積分》第 1 冊第 2.1 節（定義、定義域與值域、鉛直線檢驗）。練習：表格以及練習 (b)(c)。檢查：闔上筆記重做精熟標準中的題目，再與參考答案逐行對照。
練習與預測紀錄
(a) 對 f(x)=x^2+1，為 x=-2,-1,0,1,2 列表。說明它在實數範圍內的定義域和值域。然後解釋為什麼一個輸入不能有兩個輸出。(b) 對 h(x)=sqrt(x-2)，寫出實數定義域和值域，並計算 h(2)、h(3)、h(6)。(c) 判斷下列各項是否為 x 的函數：關係 {(1,2), (2,3), (1,4)}，以及規則 x = y^2。
寫出映射箭頭 x -> f(x)，並標註輸入欄與輸出欄。先算平方再加 1。恢復：OpenStax《微積分》第 1 卷第 2.1 節；若不可用，重新畫出五行表格並使用上面的定義。
(a) 先平方，逐列計算：
x = -2：x^2 = 4，f(-2) = 5
x = -1：x^2 = 1，f(-1) = 2
x = 0：x^2 = 0，f(0) = 1
x = 1：x^2 = 1，f(1) = 2
x = 2：x^2 = 4，f(2) = 5
定義域：全體實數 x，因為平方和加 1 對所有實數都有定義。值域：y ≥ 1。理由：x^2 ≥ 0，且僅在 x = 0 時取等號，所以 f(x) ≥ 1；而且每個 y ≥ 1 都能取到，因為取 x = sqrt(y - 1) 就有 f(x) = y。表格只顯示五個輸出，值域的結論需要這段代數推理。
一個輸入只有一個輸出：函數是確定性的規則，所以把 f(2) 算兩次，兩次都必須得 5。兩個輸入共用一個輸出是允許的（f(-2) = f(2) = 5）；一個輸入有兩個輸出則不允許。
(b) 平方根要求被開方數非負，所以 x - 2 ≥ 0，定義域為 x ≥ 2。h(2) = sqrt(0) = 0，h(3) = sqrt(1) = 1，h(6) = sqrt(4) = 2。值域：y ≥ 0，因為主平方根不會為負，且每個 y ≥ 0 都可由 x = y^2 + 2 取到。
(c) {(1,2), (2,3), (1,4)} 不是函數：輸入 1 同時對應 2 和 4。x = y^2 不能把 y 定義為 x 的函數：x = 4 時 y = 2 和 y = -2 都成立。限制 y ≥ 0 後得到函數 y = sqrt(x)。
常見錯誤：寫成 (-2)^2 + 1 = -3；照抄定義域，把值域寫成全體實數；因為兩個輸入都得 5 就說 f 不是函數。
在無人協助的情況下，給出定義域和值域的定義，算出五個正確輸出，並說出「每個輸入恰好一個輸出」這一假設。
權威來源資源與出處
OpenStax Calculus Volume 1
對應章節 / 時間戳: Sections 2.1-2.3 (Functions, Limits, and the Derivative); Sections 3.1-3.2 (Derivative Rules)
驗證版本與日期: 3rd edition, verified 2026-10-30
Open, systematic treatment of the limit definition and derivative rules with stable section locations.
Algebra, coordinate geometry, and function notation
The authored derivations, tables, and exercises in these three Study Days are complete offline recovery material; use the linked section only for optional comparison.
對比候選資源與選型分析 (3)
Strong exercises and transcripts, but the noncommercial share-alike terms and course navigation make OpenStax the primary stable text.
Useful reference, but rights and redistribution terms are less suitable for embedded recovery material.
A primary API reference for numerical derivative step-size behavior; it complements rather than replaces the hand derivation.
SciPy numerical derivative reference
對應章節 / 時間戳: derivative API: finite differences, step-size iteration, tolerances
驗證版本與日期: SciPy documentation, verified 2026-10-30
Documents numerical differentiation as an approximation with finite step sizes and stopping criteria.
Python arithmetic and the definition of a derivative
The local Day 18 tables and pure-Python snippets reproduce the relevant finite-difference behavior without SciPy.
對比候選資源與選型分析 (2)
Array-oriented gradient estimation on sampled grids; the SciPy derivative reference matches the pointwise finite-difference helper the exercises implement.
Symbolic rather than numerical differentiation; useful for exact cross-checks but not the finite-difference practice target.