第 17 天：极限、导数与不可导性

(a) f(3 + h) = (3 + h)^2 = 9 + 6h + h^2。
f(3 + h) - f(3) = 9 + 6h + h^2 - 9 = 6h + h^2。
[f(3 + h) - f(3)]/h = (6h + h^2)/h = 6 + h，当 h != 0 时（约分就是除以 h）。
lim(h->0) (6 + h) = 6，所以 f'(3) = 6。无论 h 为正还是为负，6 + h 都趋近 6，所以两个单侧极限都是 6。
数值检验：h = 0.01 得 (9.0601 - 9)/0.01 = 6.01；h = -0.01 得 (8.9401 - 9)/(-0.01) = 5.99。两者与 6 都相差 0.01，正如 6 + h 所预测。

(b) [(a + h)^2 - a^2]/h = (2ah + h^2)/h = 2a + h（h != 0），所以 f'(a) = 2a。a = 3 时再次得到 6；a = 2 时得到 4（掌握题）。这就是 n = 2 时的幂法则，是推导出来的，而不是假定的。

(c) g(2 + h) - g(2) = 1/(2 + h) - 1/2 = (2 - (2 + h))/(2(2 + h)) = -h/(2(2 + h))。
除以 h（h != 0，且 h != -2，使 2 + h 不为零）：-1/(2(2 + h))。
h 趋近 0 时它趋近 -1/(2 * 2) = -1/4，所以 g'(2) = -0.25。
数值检验：h = 0.01 时 (1/2.01 - 0.5)/0.01 = (0.497512 - 0.5)/0.01 ≈ -0.2488，接近 -0.25。

常见错误：写成 (3 + h)^2 = 9 + h^2（漏了 6h）；约分前就令 h = 0，得到 0/0；把答案留成 6 + h。

(a) 逐项求导：
d/dx x^3 = 3x^2（幂法则，n = 3）
d/dx (-2x) = -2（n = 1 的幂法则乘以常数：-2 * 1 * x^0）
d/dx 1 = 0（常数法则）
和法则：q'(x) = 3x^2 - 2 + 0 = 3x^2 - 2。
在 x = 2：q'(2) = 3(2)^2 - 2 = 3 * 4 - 2 = 12 - 2 = 10。
用 h = 0.001 的中心差分检验：q(2.001) = 8.012006001 - 4.002 + 1 = 5.010006001，q(1.999) = 7.988005999 - 3.998 + 1 = 4.990005999。(5.010006001 - 4.990005999)/0.002 = 0.020000002/0.002 = 10.000001。多出的 0.000001 对这个三次多项式恰好是 h^2，即中心差分的截断项，并不是 q'(2) 算错了。

(b) 3x^2 - 2 = 0 得 x^2 = 2/3，所以 x = sqrt(2/3) ≈ 0.8165 或 x = -sqrt(2/3) ≈ -0.8165。在这两点切线是水平的。

(c) u'(x) = 10x^4 - 6x + 7，所以 u'(1) = 10 - 6 + 7 = 11。

定义域说明：多项式对所有实数 x 都有定义且可导，不需要排除任何点。这些法则是极限定义的捷径，每一条都可由定义证明。

常见错误：对指数求导（写成 3x^3 或 x^2）；把常数 1 保留为 1；在求导之前就代入 x = 2。

(a) 连续性：lim(x->0) |x| = 0 = v(0)，所以 v 在 0 处连续。
商式：[v(0 + h) - v(0)]/h = |h|/h。
h 为正时，|h| = h，商为 h/h = 1；h = 0.1 时为 0.1/0.1 = 1。
h 为负时，|h| = -h，商为 -h/h = -1；h = -0.1 时为 0.1/(-0.1) = -1。
右极限为 1，左极限为 -1。两者不同，所以双侧极限不存在，v'(0) 也不存在，尽管 v 在 0 处连续。这是对“连续就一定可导”的反例。几何上，斜率为 1 和 -1 的两条直线在原点形成尖角。

(b) w(0) = 0，所以当 h != 0 时商为 w(h)/h = h|h|/h = |h|。h 从任一侧趋近 0 时，|h| 都趋近 0。两个单侧极限都是 0，所以 w'(0) = 0。乘以 x 消除了尖角：图像左侧是 -x^2，右侧是 x^2，两段以相同的斜率 0 相接。

(c) c(h)/h = h^(1/3)/h = h^(-2/3)。h = 0.001 时：0.1/0.001 = 100。h = -0.001 时：(-0.1)/(-0.001) = 100。h 趋近 0 时商无限增大（h^(-2/3) 趋于 +无穷），所以 c 在 0 处有竖直切线，没有有限的导数，尽管它在那里连续。

小结：尖角（|x|，单侧极限不等）、光滑衔接（x|x|，极限相等）、竖直切线（立方根，极限为无穷）。有跳跃的函数在跳跃点绝不可导，因为可导蕴含连续。

法则：s'(x) = 2x - 4（对 x^2 用幂法则，对 -4x 用常数倍法则）。所以 s'(3) = 2(3) - 4 = 2。
极限定义检验：s(3 + h) = (3 + h)^2 - 4(3 + h) = 9 + 6h + h^2 - 12 - 4h = -3 + 2h + h^2。由 s(3) = -3，[s(3 + h) - s(3)]/h = (2h + h^2)/h = 2 + h（h != 0），趋近 2。两种方法一致。

切线：s(3) = 9 - 12 = -3，所以切点为 (3, -3)，斜率为 2：y + 3 = 2(x - 3)，即 y = 2x - 9。在 x = 3 处检验：2(3) - 9 = -3。

局部线性近似：在 x = 3.1 处切线给出 2(3.1) - 9 = -2.8；真实值 s(3.1) = 9.61 - 12.4 = -2.79。误差 0.01 就是 h = 0.1 时的 h^2，正是直线忽略的那一项。

与 |x| 在 0 处对比：与光滑的多项式不同，|x| 在 0 处左右斜率不等，因此在那里没有导数：明确地说，lim(h->0+) (|h| - |0|)/h = +1，而 lim(h->0-) (|h| - |0|)/h = -1。多项式在每一点都有切线；|x| 在 0 处没有，所以没有一条直线能从两侧同时近似它的尖角。

检查用的变式：s'(1) = -2，s(1) = -3，所以 x = 1 处的切线为 y = -2x - 1。

常见错误：只写斜率 2 作为全部答案；把 s(3) 算成 3；把 +1 和 -1 取平均，说 |x| 在 0 处的导数为 0。