作为映射的函数
Agent 辅助工程检查
前提条件
完成前一项活动；如遇困难，使用列出的恢复来源。
学习目标
把函数理解为一种规则：它把定义域中每个允许的输入恰好映射到一个输出。在使用公式前先建立表格，并说明定义域、值域、单位与假设。
操作说明
1. 先读定义：从定义域 D 出发的函数 f，给 D 中每个输入 x 恰好指定一个输出 f(x)。动用公式之前，先写出 D、输出集合和单位（这里只是普通的数）。
2. 计算前先预测：哪个输入给出最小输出？哪些输入对会得到相同的输出？
3. 逐列建表：先 x，再 x^2，最后 x^2+1。最常见的失误出在“先平方再加 1”这一步；(-2)^2 是 4，不是 -4。
4. 值域要从代数推出，而不只看表：对每个实数 x 都有 x^2 ≥ 0，所以 x^2+1 ≥ 1；并且每个 y ≥ 1 都能由 x = sqrt(y-1) 取到。
5. 用练习题检验定义：只要某个输入对应了两个不同的输出，这个关系就不再是函数。
6. 把预测与表格对比，如有不符，用一句话记录。
时间安排（120 分钟）：阅读 30 + 练习 60 + 检查 30。 阅读：OpenStax《微积分》第 1 卷第 2.1 节（定义、定义域与值域、竖线检验）。练习：表格以及练习 (b)(c)。检查：合上笔记重做掌握标准中的题目，再与参考答案逐行对照。
练习与预测记录
(a) 对 f(x)=x^2+1，为 x=-2,-1,0,1,2 列表。说明它在实数范围内的定义域和值域。然后解释为什么一个输入不能有两个输出。(b) 对 h(x)=sqrt(x-2)，写出实数定义域和值域，并计算 h(2)、h(3)、h(6)。(c) 判断下列各项是否是 x 的函数：关系 {(1,2), (2,3), (1,4)}，以及规则 x = y^2。
写出映射箭头 x -> f(x)，并标注输入列与输出列。先算平方再加 1。恢复：OpenStax《微积分》第 1 卷第 2.1 节；若不可用，重新画出五行表格并使用上面的定义。
(a) 先平方，逐行计算：
x = -2：x^2 = 4，f(-2) = 5
x = -1：x^2 = 1，f(-1) = 2
x = 0：x^2 = 0，f(0) = 1
x = 1：x^2 = 1，f(1) = 2
x = 2：x^2 = 4，f(2) = 5
定义域：全体实数 x，因为平方和加 1 对所有实数都有定义。值域：y ≥ 1。理由：x^2 ≥ 0，且仅在 x = 0 时取等号，所以 f(x) ≥ 1；并且每个 y ≥ 1 都能取到，因为取 x = sqrt(y - 1) 就有 f(x) = y。表格只显示五个输出，值域的结论需要这段代数推理。
一个输入只有一个输出：函数是确定性的规则，所以把 f(2) 算两次，两次都必须得 5。两个输入共享一个输出是允许的（f(-2) = f(2) = 5）；一个输入有两个输出则不允许。
(b) 平方根要求被开方数非负，所以 x - 2 ≥ 0，定义域为 x ≥ 2。h(2) = sqrt(0) = 0，h(3) = sqrt(1) = 1，h(6) = sqrt(4) = 2。值域：y ≥ 0，因为算术平方根不会为负，且每个 y ≥ 0 都可由 x = y^2 + 2 取到。
(c) {(1,2), (2,3), (1,4)} 不是函数：输入 1 同时对应 2 和 4。x = y^2 不能把 y 定义为 x 的函数：x = 4 时 y = 2 和 y = -2 都成立。限制 y ≥ 0 后得到函数 y = sqrt(x)。
常见错误：写成 (-2)^2 + 1 = -3；照抄定义域，把值域写成全体实数；因为两个输入都得 5 就说 f 不是函数。
在无人协助的情况下，给出定义域和值域的定义，算出五个正确输出，并说出“每个输入恰好一个输出”这一假设。
权威来源资源与出处
OpenStax Calculus Volume 1
对应章节 / 时间戳: Sections 2.1-2.3 (Functions, Limits, and the Derivative); Sections 3.1-3.2 (Derivative Rules)
验证版本与日期: 3rd edition, verified 2026-10-30
Open, systematic treatment of the limit definition and derivative rules with stable section locations.
Algebra, coordinate geometry, and function notation
The authored derivations, tables, and exercises in these three Study Days are complete offline recovery material; use the linked section only for optional comparison.
对比候选资源与选型分析 (3)
Strong exercises and transcripts, but the noncommercial share-alike terms and course navigation make OpenStax the primary stable text.
Useful reference, but rights and redistribution terms are less suitable for embedded recovery material.
A primary API reference for numerical derivative step-size behavior; it complements rather than replaces the hand derivation.
SciPy numerical derivative reference
对应章节 / 时间戳: derivative API: finite differences, step-size iteration, tolerances
验证版本与日期: SciPy documentation, verified 2026-10-30
Documents numerical differentiation as an approximation with finite step sizes and stopping criteria.
Python arithmetic and the definition of a derivative
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