Day 16: 関数・傾き・極限

(a) 平方を先にして一行ずつ計算する：
x = -2：x^2 = 4、f(-2) = 5
x = -1：x^2 = 1、f(-1) = 2
x = 0：x^2 = 0、f(0) = 1
x = 1：x^2 = 1、f(1) = 2
x = 2：x^2 = 4、f(2) = 5
定義域：すべての実数 x。平方と 1 の加算はすべての実数で定義されるからである。値域：y ≥ 1。理由：x^2 ≥ 0 で等号は x = 0 のときだけなので f(x) ≥ 1。また x = sqrt(y - 1) とすれば f(x) = y となるので、y ≥ 1 のすべての値が実現される。表が示すのは五つの出力だけであり、値域の主張にはこの代数が必要である。
一つの入力に一つの出力：関数は決定的な規則なので、f(2) を二度評価すれば二度とも 5 になる。二つの入力が同じ出力を共有するのは構わない（f(-2) = f(2) = 5）。一つの入力が二つの出力を持つことは許されない。

(b) 平方根の中身は非負でなければならないので x - 2 ≥ 0、定義域は x ≥ 2。h(2) = sqrt(0) = 0、h(3) = sqrt(1) = 1、h(6) = sqrt(4) = 2。値域：y ≥ 0。主平方根は負にならず、y ≥ 0 のどの値も x = y^2 + 2 で実現されるからである。

(c) {(1,2), (2,3), (1,4)} は関数ではない：入力 1 が 2 とも 4 とも対になっている。x = y^2 は y を x の関数として定めない：x = 4 で y = 2 と y = -2 の二つが出る。y ≥ 0 に制限すると関数 y = sqrt(x) になる。

よくある誤り：(-2)^2 + 1 = -3 と書く。定義域を写して値域を「すべての実数」とする。二つの入力が 5 を与えるから f は関数でない、と判断する。

(a) f(2) = 4 + 1 = 5、f(5) = 25 + 1 = 26。平均変化率 = (26 - 5)/(5 - 2) = 21/3 = 7。割線の傾きも同じ数である：(2, 5) と (5, 26) を通る直線は、入力 1 単位あたり出力が 7 単位上がる。予測どおり正である。

(b) 点傾き形：y - 5 = 7(x - 2)、よって y = 7x - 9。確認：7(5) - 9 = 26 = f(5)、7(2) - 9 = 5 = f(2)。

(c) f(2.5) = 7.25、傾き (7.25 - 5)/0.5 = 4.5。f(2.1) = 5.41、傾き 0.41/0.1 = 4.1。f(2.01) = 5.0401、傾き 0.0401/0.01 = 4.01。傾きは 4 に近づく。
理由：この関数では [a, b] 上の傾きは ((b^2 + 1) - (a^2 + 1))/(b - a) = (b - a)(b + a)/(b - a) = a + b（b != a なので約分できる）。これで全部の値が説明できる：2 + 5 = 7、2 + 2.5 = 4.5、そして b が 2 に近づくと a + b は 4 に近づく。Day 17 ではこの極限を導関数 f'(2) = 4 と呼ぶ。

(d) 単位：メートル毎秒。t = 2 から t = 5 までの 3 秒で 21 m 進むので、平均の速さは 7 m/s。これはある一瞬の速さについては何も言わない。

割線には異なる二つの入力が必要である。b = a では商が 0/0 となり定義されない。だから瞬間の傾きには極限が必要になる。

(a) x != 1 では g(x) = (x - 1)(x + 1)/(x - 1) = x + 1。約分が正当なのは x - 1 != 0 だからである。
元の式での表：x = 0.9：(0.81 - 1)/(-0.1) = 1.9。x = 0.99：(0.9801 - 1)/(-0.01) = 1.99。x = 1.01：(1.0201 - 1)/0.01 = 2.01。x = 1.1：(1.21 - 1)/0.1 = 2.1。簡約した x + 1 でも同じ四つの値になる。
左からは 1.9、1.99 と 2 に向かって増え、右からは 2.1、2.01 と 2 に向かって減る。両側が一致するので lim(x->1) g(x) = 2。
g(1) は定義されていない：規則が x = 1 を除いている。グラフは直線 y = x + 1 で、(1, 2) に穴がある。g(1) = 2 と書けば新しい関数を定義したことになり、極限からは導かれない。

(b) x != 2 で k(x) = (x - 2)(x + 2)/(x - 2) = x + 2。k(1.9) = (3.61 - 4)/(-0.1) = 3.9、k(2.1) = (4.41 - 4)/0.1 = 4.1 なので lim(x->2) k(x) = 4。一方 k(2) は定義されない。

(c) 正の x では |x|/x = x/x = 1、負の x では |x|/x = -x/x = -1。よって s(-0.1) = s(-0.01) = -1、s(0.01) = s(0.1) = 1。左極限は -1、右極限は 1 で異なるので、lim(x->0) s(x) は存在しない。因数分解では直せない。(a) と違い、これは除去可能な穴ではなく跳びである。

よくある誤り：元の規則に x = 1 を代入して 0/0 = 1 と書く。片側の値だけを使う。g(1) = 2 と主張する。

(1) p(3) = 9、p(3.1) = 3.1^2 = 9.61。平均の傾き = (9.61 - 9)/(3.1 - 3) = 0.61/0.1 = 6.1。

(2) 端点を 3 + h とすると：(p(3 + h) - p(3))/h = ((9 + 6h + h^2) - 9)/h = (6h + h^2)/h = 6 + h（h != 0 のとき）。
h = 0.1 で 6.1（(1) と一致）、h = 0.01 で 6.01、h = 0.001 で 6.001。左側では h = -0.1 で 5.9、h = -0.01 で 5.99。両側とも 6 に近づくので、割線の傾きは 3 での瞬間の傾き 6 に近づく。

(3) 仮定：p が 3 を含む開区間で定義されていること（ここではすべての実数）、商は h != 0 のときだけ作ること、そして商の両側極限が存在すること、つまり左右の値が同じ数に近づくこと。|x| の 0 のように片側極限が異なれば、微分係数は存在しない。

(4) p(-1 + h) = 1 - 2h + h^2 なので (p(-1 + h) - p(-1))/h = (-2h + h^2)/h = -2 + h（h != 0）、これは -2 に近づく。-1 では放物線が下がっているので傾きは負である。一般にこの極限は 2a であり、Day 17 でこれを証明する。

採点の目安：h^2 の項を落とす、h != 0 と述べずに h を約分する、正の h だけを確かめる。この三つが記録すべき誤りであり、それぞれ活動 2（割線の商）か活動 3（極限）に戻る。