Day 19: 合成関数の連鎖律 | 90-Day AI Curriculum

01 120 分

合成の直観：導関数は鎖に沿って掛け合わさる

予測と観察の証拠を記録した後にのみ支援を利用できる。

前提条件

Study Days 16-18 の微分ルール。不安なルールがあれば、続行する前に Day レベルの回復リンクを開くこと。

学習目標

合成関数 y = g(u), u = h(x) について連鎖律 dy/dx = dy/du * du/dx を述べ、微小変化で正当化し、多項式の累乗に適用して展開による独立チェックを行う。

手順

参照資料: この活動に割り当てられた既存の読解・練習時間内で、MIT OCW 18.01SC Single Variable Calculus の Unit 1, Part A, Session 11: Chain Rule; lecture notes and worked example with solution を参照し、ローカル課題とのつながりを一つ自分の言葉で説明する。既存の演習と合格基準は維持し、外部資料が開けない場合は本コース独自の説明を使う。y = (3x + 1)^2 とする。u = 3x + 1 とおくと y = u^2。微小変化 dx は du = 3 dx に拡大され、du は dy = 2u du に拡大される。したがって dy/dx = 2u * 3 = 6(3x + 1) = 18x + 6。先に展開して検証する：(3x + 1)^2 = 9x^2 + 6x + 1 の導関数も 18x + 6。2 つの導出を並べて書き、計算する前に x = 1 での dy/dx を予測せよ。

演習と予測記録

予測してから計算せよ：(a) d/dx (3x + 1)^2 の x = 1 での値を連鎖律と展開の両方で求める。(b) d/dx (2x - 1)^3 の x = 1 での値を連鎖律で求める。

完了としてマーク

独立習得基準

内側・外側の関数を名前で区別して連鎖律を述べ、18x + 6 の両方の導出をノートなしで再現でき、予測した 24 と 6 が自分で実行した有限差分と一致する。

公式ソースリソースと権利証跡

linking CC BY-NC-SA 4.0 noncommercial share-alike

MIT OCW 18.01SC Single Variable Calculus

著者・提供機関: MIT OpenCourseWare (David Jerison) | オリジナル出所URL ↗

該当セクション・タイムスタンプ: Unit 1, Part A, Session 11: Chain Rule; lecture notes and worked example with solution

検証バージョンと日付: Public edition checked 2026-11-01; moving pages may change

選定理由:

Independent-study teaching sequence with lectures, worked recitations, problem sets and solutions for Days 16-19; OpenStax remains the numbered written reference.

ソース前提知識:

Functions, algebra and high-school trigonometry.

安全フォールバック（オフライン回復性）:

Use the original localized explanations, exercises and checks already present in this activity; no external account or purchase is required for that fallback.

比較対象候補リソースと選定評価 (2)

OpenStax Calculus Volume 1 ↗ compared_alternative [CC BY-NC-SA 4.0]

Stable numbered text and exercises; retained alongside the lecture and recitation sequence.

Essence of Calculus ↗ compared_alternative [Copyright 3Blue1Brown / Grant Sanderson (no general open license)]

Visual motivation without an answer-keyed exercise sequence; retained for intuition.

linking CC BY-NC-SA 4.0 attribution noncommercial share-alike

OpenStax Calculus Volume 1

著者・提供機関: OpenStax, Rice University (Gilbert Strang, Edwin Herman, et al.) | オリジナル出所URL ↗

該当セクション・タイムスタンプ: Section 3.6 The Chain Rule: 'Rule: The Chain Rule' box (Equation 3.17), 'Rule: Chain Rule Using Leibniz’s Notation', Example 3.48 Using the Chain and Power Rules

検証バージョンと日付: OpenStax Calculus Volume 1 web edition (verified 2026-10-30)

選定理由:

Openly licensed primary treatment of the scalar chain rule with worked examples that match the day's hand calculations.

ソース前提知識:

Derivative rules for powers and polynomials (Study Days 16-18).

安全フォールバック（オフライン回復性）:

The lesson contains complete local derivations and worked answers; offline study is unaffected.

比較対象候補リソースと選定評価 (3)

MIT OpenCourseWare 18.01SC Single Variable Calculus ↗ compared_selected_for_visual_practice [CC BY-NC-SA 4.0]

Strong exercises and transcripts, but the noncommercial share-alike terms and course navigation make OpenStax the primary stable text.

Useful reference, but rights and redistribution terms are less suitable for embedded recovery material.

SciPy Numerical Differentiation Documentation ↗ compared_selected_for_numerics [BSD-3-Clause]

A primary API reference for numerical derivative step-size behavior; it complements rather than replaces the hand derivation.

Essence of Calculus

著者・提供機関: Grant Sanderson (3Blue1Brown) | オリジナル出所URL ↗

該当セクション・タイムスタンプ: Chapter 4 video: composing functions and why derivatives multiply

検証バージョンと日付: 2017 video release (verified 2026-10-30)

選定理由:

Visual-first treatment of why the derivative of a composition is a product of derivatives; selected for its geometric explanation of the chain rule.

ソース前提知識:

Basic derivative intuition from Study Days 16-18.

安全フォールバック（オフライン回復性）:

All visual intuitions are restated as text derivations and finite-difference checks in the local content.

比較対象候補リソースと選定評価 (2)

OpenStax Calculus Volume 1 Section 3.6 ↗ compared_selected_for_day19 [CC BY-NC-SA 4.0]

Chosen as the primary written source; 3Blue1Brown supplies the geometric motivation layer.

Khan Academy: Differential Calculus ↗ compared_alternative [CC BY-NC-SA 4.0]

Good drill coverage but less memorable visual intuition for the chain rule's product structure.

02 120 分

手計算ドリルと抜け落ちた内側の導関数

独立練習：先に予測し、記録した無支援の試行を保存する。その後の助けは別段階の「支援つき回復」であり、その概念を独立した証拠とみなすには新しい同等の無支援チェックが必要。

前提条件

前のアクティビティを完了していること。詰まった場合は記載の回復リンクを使う。

学習目標

合成された累乗の導関数を手計算し、多項式展開または有限差分で各結果を確認し、内側の導関数を落とす典型的な誤りを診断する。

手順

まず答えを見ずに取り組む。f(x) = (5x - 2)^3 について、連鎖律は f'(x) = 3(5x - 2)^2 * 5 = 15(5x - 2)^2 を与える。x = 1 で展開により確認：(5x - 2)^3 = 125x^3 - 150x^2 + 60x - 8 の導関数 375x^2 - 300x + 60 は x = 1 で 135 — 15 * 3^2 と同じ。続いて g(x) = (x^2 + 1)^2 を x = 2 で繰り返す。ここでは内側の導関数は定数ではなく 2x。保存した試行の後で助けを使った場合は「支援つき回復」として扱う：元の試行は変更せず、その概念を修復済みと呼ぶ前に新しい同等の無支援チェックに合格する。

演習と予測記録

手計算して検証せよ：(a) f(x) = (5x - 2)^3 の f'(1)。(b) g(x) = (x^2 + 1)^2 の g'(2)。それぞれについて、内側の導関数を忘れた場合の誤答も書き、誤差の大きさを説明せよ。

完了としてマーク

独立習得基準

助けなしで 135 と 40 を導き、それぞれに連鎖律の導出と独立チェックを付け、よくある脱落で失われる因子（それぞれ 5 と 4）を言える。

公式ソースリソースと権利証跡

linking CC BY-NC-SA 4.0 attribution noncommercial share-alike

OpenStax Calculus Volume 1

著者・提供機関: OpenStax, Rice University (Gilbert Strang, Edwin Herman, et al.) | オリジナル出所URL ↗

該当セクション・タイムスタンプ: Section 3.6 worked examples and end-of-section exercises

検証バージョンと日付: OpenStax Calculus Volume 1 web edition (verified 2026-10-30)

選定理由:

Provides additional independent drill problems once the local exercises are mastered.

ソース前提知識:

Derivative rules for powers and polynomials (Study Days 16-18).

安全フォールバック（オフライン回復性）:

The exercise answers are fully worked locally, so the drill never depends on the external site.

比較対象候補リソースと選定評価 (3)

MIT OpenCourseWare 18.01SC Single Variable Calculus ↗ compared_selected_for_visual_practice [CC BY-NC-SA 4.0]

Strong exercises and transcripts, but the noncommercial share-alike terms and course navigation make OpenStax the primary stable text.

Useful reference, but rights and redistribution terms are less suitable for embedded recovery material.

SciPy Numerical Differentiation Documentation ↗ compared_selected_for_numerics [BSD-3-Clause]

A primary API reference for numerical derivative step-size behavior; it complements rather than replaces the hand derivation.

Essence of Calculus

著者・提供機関: Grant Sanderson (3Blue1Brown) | オリジナル出所URL ↗

該当セクション・タイムスタンプ: Chapter 4 video: the inner-function correction factor

検証バージョンと日付: 2017 video release (verified 2026-10-30)

選定理由:

Explains geometrically why omitting the inner derivative undercounts the change, matching the worked failure case.

ソース前提知識:

Basic derivative intuition from Study Days 16-18.

安全フォールバック（オフライン回復性）:

The failure case is demonstrated locally with an expansion check and numerical values.

比較対象候補リソースと選定評価 (2)

OpenStax Calculus Volume 1 Section 3.6 ↗ compared_selected_for_day19 [CC BY-NC-SA 4.0]

Chosen as the primary written source; 3Blue1Brown supplies the geometric motivation layer.

Khan Academy: Differential Calculus ↗ compared_alternative [CC BY-NC-SA 4.0]

Good drill coverage but less memorable visual intuition for the chain rule's product structure.

03 120 分

より深い鎖と有限差分による検証

予測と観察の証拠を記録した後にのみ支援を利用できる。

前提条件

前のアクティビティを完了していること。詰まった場合は記載の回復リンクを使う。

学習目標

3 重にネストした鎖に連鎖律を適用し、中心有限差分で任意の手計算導関数を検証する小さな Python ヘルパーを書く。

手順

w = (2x^2 + 1)^3 を w = v^3, v = 2x^2 + 1 と分解する。すると dw/dx = 3v^2 * dv/dx = 3(2x^2 + 1)^2 * 4x = 12x(2x^2 + 1)^2。x = 1 では 12 * 9 = 108、w = 27。検証ヘルパー：def central_fd(f, x, h=1e-5): return (f(x + h) - f(x - h)) / (2 * h)。central_fd(lambda x: (2*x2 + 1)3, 1) を実行する前に出力値を予測せよ。

演習と予測記録

w = (2x^2 + 1)^3 の dw/dx の 3 重鎖の導出を書き、x = 1 で評価し、有限差分ヘルパーを実行して確認せよ。次にそのヘルパーで d/dx (3x + 1)^2 の x = 1 での値 24 を再検証し、不一致があれば記録せよ。

完了としてマーク

独立習得基準

書いた鎖が正しい順序でちょうど 3 つの因子を持ち、予測が実行に先行し、有限差分の出力が 108 と 24 に小数点以下 4 桁以上一致する。

公式ソースリソースと権利証跡

linking CC BY-NC-SA 4.0 attribution noncommercial share-alike

OpenStax Calculus Volume 1

著者・提供機関: OpenStax, Rice University (Gilbert Strang, Edwin Herman, et al.) | オリジナル出所URL ↗

該当セクション・タイムスタンプ: Section 3.6: applying the chain rule more than once

検証バージョンと日付: OpenStax Calculus Volume 1 web edition (verified 2026-10-30)

選定理由:

Documents repeated application of the chain rule used in the three-link composition drill.

ソース前提知識:

Derivative rules for powers and polynomials (Study Days 16-18).

安全フォールバック（オフライン回復性）:

The worked answer derives the three-link product locally step by step.

比較対象候補リソースと選定評価 (3)

MIT OpenCourseWare 18.01SC Single Variable Calculus ↗ compared_selected_for_visual_practice [CC BY-NC-SA 4.0]

Strong exercises and transcripts, but the noncommercial share-alike terms and course navigation make OpenStax the primary stable text.

Useful reference, but rights and redistribution terms are less suitable for embedded recovery material.

SciPy Numerical Differentiation Documentation ↗ compared_selected_for_numerics [BSD-3-Clause]

A primary API reference for numerical derivative step-size behavior; it complements rather than replaces the hand derivation.

linking PSF License Version 2

The Python Tutorial: Numbers and Expressions

著者・提供機関: Python Software Foundation | オリジナル出所URL ↗

該当セクション・タイムスタンプ: Section 3.1.1 Numbers: arithmetic operators used by the finite-difference helper

検証バージョンと日付: Python 3.12 documentation (verified 2026-10-30)

選定理由:

Reference for the arithmetic syntax used by the central finite-difference verification helper.

ソース前提知識:

Able to run a short Python file from the terminal.

安全フォールバック（オフライン回復性）:

The full helper listing is embedded in the lesson and runs on a standard Python install.

比較対象候補リソースと選定評価 (2)

math — Mathematical functions ↗ compared_alternative [PSF License Version 2]

Extends the operator set to transcendental functions; kept as a follow-on once the arithmetic expressions are fluent.

The Python Tutorial: Floating Point Arithmetic Issues ↗ compared_alternative [PSF License Version 2]

Explains binary float representation limits; deferred to the numerics days where tolerance reasoning is rehearsed.

04 120 分

独立習得チェック、折れ点のエッジケースと回復

独立習得チェック（AI 支援なし）。

前提条件

前のアクティビティを完了していること。詰まった場合は記載の回復リンクを使う。

学習目標

閉ブック条件で連鎖律を述べて適用し、導関数を数値的に検証し、微分不可能な折れ点で規則がなぜ破綻するかを説明する。

手順

チェック中はノートや AI を使わない。パート 1：y = g(u), u = h(x) の連鎖律を述べよ。パート 2：d/dx (4x + 3)^2 の x = 0 での値を計算し、有限差分で検証せよ。パート 3：f(x) = |2x - 2| は x = 1 に折れ点を持つ。そこでの左側差商の傾きと右側の傾きを計算し、|u| と 2x - 2 が単純な関数でも連鎖律がその点で適用できない理由を説明せよ。

演習と予測記録

提出物：連鎖律の記述、d/dx (4x + 3)^2 の x = 0 での値と検証した数値、|2x - 2| の x = 1 での左右の傾き、どの仮定が失敗するかの一文。

完了としてマーク

独立習得基準

4 部すべてを自力で正解：規則の記述、数値一致した 24、傾き -2 と +2 および仮定失敗の正しい説明、さらに抜けた内容への正直な回復メモ。

公式ソースリソースと権利証跡

linking CC BY-NC-SA 4.0 attribution noncommercial share-alike

OpenStax Calculus Volume 1

著者・提供機関: OpenStax, Rice University (Gilbert Strang, Edwin Herman, et al.) | オリジナル出所URL ↗

該当セクション・タイムスタンプ: Section 3.6 hypothesis: both links must be differentiable at the evaluation point

検証バージョンと日付: OpenStax Calculus Volume 1 web edition (verified 2026-10-30)

選定理由:

States the differentiability hypotheses that explain the kink counterexample in the mastery check.

ソース前提知識:

Derivative rules for powers and polynomials (Study Days 16-18).

安全フォールバック（オフライン回復性）:

The edge case is analyzed locally with left and right difference quotients.

比較対象候補リソースと選定評価 (3)

MIT OpenCourseWare 18.01SC Single Variable Calculus ↗ compared_selected_for_visual_practice [CC BY-NC-SA 4.0]

Strong exercises and transcripts, but the noncommercial share-alike terms and course navigation make OpenStax the primary stable text.

Useful reference, but rights and redistribution terms are less suitable for embedded recovery material.

SciPy Numerical Differentiation Documentation ↗ compared_selected_for_numerics [BSD-3-Clause]

A primary API reference for numerical derivative step-size behavior; it complements rather than replaces the hand derivation.

Essence of Calculus

著者・提供機関: Grant Sanderson (3Blue1Brown) | オリジナル出所URL ↗

該当セクション・タイムスタンプ: Chapter 4 video: where the product picture assumes smooth behavior

検証バージョンと日付: 2017 video release (verified 2026-10-30)

選定理由:

Optional review link for learners who want the geometric picture before the independent check.

ソース前提知識:

Basic derivative intuition from Study Days 16-18.

安全フォールバック（オフライン回復性）:

The assessment is fully specified locally and needs no external media.

比較対象候補リソースと選定評価 (2)

OpenStax Calculus Volume 1 Section 3.6 ↗ compared_selected_for_day19 [CC BY-NC-SA 4.0]

Chosen as the primary written source; 3Blue1Brown supplies the geometric motivation layer.

Khan Academy: Differential Calculus ↗ compared_alternative [CC BY-NC-SA 4.0]

Good drill coverage but less memorable visual intuition for the chain rule's product structure.